Criteriul de divizibilitate cu 10
Exemplu:
a) Se pot aşeza 630 kg de mere în lăzi de 10 kg, toate pline?
Dar 500 kg?
Da, pentru că:
630:10=63 adică 630=63*10
500:10=50 adică 500=50*10
b) Se pot aşeza 588 kg de castraveţi în cutii de 10 kg?
Dar 66 kg?
Nu, pentru că:
588=58*10+8
66=6*10+6
Numerele 630 şi 500 se divid cu 10.
Numerele 588 şi 66 nu se divid cu 10.
Generalizăm: Dacă ultima cifră a unui număr natural este 0, atunci numărul se divide cu 10.
Dacă ultima cifră a unui număr nu este 0, atunci numărul nu se divide cu 10.
Exemple:
56950 se divide cu 10 pentru că are ultima cifră 10.
45684 nu se divide cu 10 pentru că nu are ultima cifră 10.
Numerele de forma 28z sînt divizibile cu 10 dacă z=0.
Notă: Dacă numărul natural f se divide cu 10, atunci f se divide cu 2*5, deci cu 2 şi cu 5.
Exerciţii:
Aflaţi numărul natural x care este multiplu a lui 10 şi verifică relaţia:
55 8x+9x<171 deci X={10}
95>x deci X={10,20,30,40,50,60,70,80,90}
Aflaţi mulţimile A,B pentru care se verifică relaţiile:
A={xx € N*, 101> x, x se divide cu 10}
B={xx € N, 54 C={ xx € N*, 25>x, x nu se divide cu 10}
D={ xx € N, 15 Rezolvare:
A={10,20,30,40,50,60,70,80,90,100}
B=O
C={1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,12,13,14,15,16,17,18,19,21,22,23,24}
D={16,17,18,19}
Fie numărul ab . Deoarece ab=10a+b, rezultă că 10 ab dacă şi numai dacă b=0


Criteriul de divizibilitate cu 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
Priviţi numerele de mai sus.Numerele de culoarea mai întunecată sunt multipli ai lui 5, celelalte-nu. Hai să verificăm cîteva numere:
5 se divide cu 5, pentru că 5=5*1
20 se divide cu 5, pentru că 20=5*4
39 nu se divide cu 5, pentru că 39=5*7+4
12 nu se divide cu 5, pentru că 12=5*2+2
Observăm: 15,60,95,110 şi alţi multipli ai lui 5 au ultima cifră 0 sau 5. Niciodată nu pot fi alte cifre!!!
***Dacă ultima cifră a unui număr natural 0 sau 5, atunci numărul se divide cu 5!!!
***Dacă ultima cifră a unui număr nu este 0 şi nici 5, atunci numărul nu este un multiplu a lui 5!!!
Vreti sa stiti mai mult???
Dintre numerele de o cifră se divid cu 5 numai 0 şi 5.
Fie numerele ab .
Atunci ab=10a+b. 10a se divide cu 5, oricare ar fi a € N. Numărul ab se divide cu 5 dacă şi numai dacă b € {0,5}
Fie numărul abc.
Atunci abc=10ab+c. Deoarece 510ab, rezultă că 5abc dacă şi numai dacă 5 c, adică c € {0,5}
Exemple:
numărul 560 este divizibil cu 5, deoarece are ultima cifră 0.
numărul 1595 este divizibil cu 5, deoarece are ultima cifră 5.
numărul 4586 nu este divizibil cu 5, deoarece nu are ultima cifră 0 sau 5.
numerele de forma 53h sînt divizibile cu 5 dacă h € {0,5}
Exerciţii:
Doi iepuraşi urcă o scară salturi. Cel mai mare sare treptele din cinci în cinci, iar cel mai mic din trei în trei.
Scrieţi numerele treptelor pe care le va atinge iepuraşul cel mai mare.
Scrieţi numerele treptelor pe care le va atinge iepuraşul cel mai mic.
Scrieţi numerele treptelor pe care le vor sări împreună.
Rezolvare:
I.m.={0,5,10,15,20,25,30,35,40}
I.mic={0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39}
I.mare?I.mic={0,15,30}




Criteriul de divizibilitate cu 2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
Priviţi numerele de mai sus. Acest şir de numere este o parte din şirul numerilor naturale. Numerele de culoarea neagră sunt divizibile cu 2, iar celelalte numere nu sînt divizibile cu 2. Haideţi să analizăm cîteva numere:
12 se divide cu 2, deoarece 12=2*6
34 se divide cu 2, deoarece 34=2*17
85 nu se divide cu 2, deoarece 85=2*42+1
53 nu se divide cu 2, deoarece 53=2*26+1
Observăm:
20,52,564,3596,268 şi alte numere care sînt multipli ai lui 2 au ultima cifră 0 sau 2, sau 4, sau 6, sau 8 (cifrele 0,2,4,6,8 sînt numere pare)
11,23,2265,20007,3169 şi alte numere care nu sînt multipli ai lui 2 nu au ultima cifră nici 0, nici 2, nici 4, nici 6, nici 8.
Sînt divizibile cu 2 numai numerele care au ultima cifră pară!!!
Generalizăn:
***Dacă ultima cifră a unui număr natural este pară, atunci numărul de divide cu 2.
***Dacă ultima cifră a unui număr natural nu este pară, atunci numărul nu se divide cu 2.
Observăm:
Numerele divizibile cu 2 sînt numere pare şi sînt de forma 2*n, unde
n € N. De exemplu, 18=2*9, 124=2*62.
Numerele care nu sînt divizibile cu 2 sînt numere impare şi sînt de forma 2*n+1, unde n € N. De exemplu, 23=11*2+1, 2001=2*1000+1.
Exerciţii:
Împărţind un număr natural la 2, se obţine restul 1. Care poate fi ultima cifră a acestui număr?
Rezolvare:
Ne reamintim de forma numerelor impare nedevizibile cu 2. Ea este 2*n+1. Aceste cifre pot fi mau multe: 1,3,5,7,9.
Răspuns:
Ultimile cifre la acest număr pot fi mai multe. Ele sînt: 1,3,5,7,9.






Criteriul de divizibilitae cu 3
La o competiţie sportivă participă 468 de fete şi 625 de băieţi. Pot fi repartizate fetele în mod egal pe 3 coloane? Dar băieţii?
Rezolvare:
468:3=156; 3468 625:3=208 (rest 1); 3 625
Fetele, da! Băieţii, nu!
Dar de ce?
Observăm:
1+2=3
7+2+0=9
8+9+1=18
Numerele 12,720,891 precum şi alţi multipli ai lui 3, au suma cifrelor divizibilă cu 3.
2+6=8
2+6+8+1=17
15788 1+5+7+8+8=29
Numerele 26,2681,15788 precum şi alte numere care nu sînt multipli ai lui 3, nu au suma cifrelor divizibile cu 3.
Generalizăm:
***Dacă suma cifrelor unui număr natural de divide cu 3, atunci numărul se divide cu 3.
***Dacă suma cifrelor unui număr natural nu se divide cu 3, atunci numărul nu se divide cu 3.
Vreti sa stiti mai mult?
Fie numărul ab. Ţinem cont că ab=10a+b=9a+(a+b) şi, deoarece 3 9a, rezultă că 3 ab dacă şi numai dacă 3 (a+b)
Exemple:
Numărul 66351 este divizibil cu 3, deoarece suma cifrelor sale, 6+6+3+5+1=21, este multiplu al lui 3.
Numărul 5165218 nu este divizibil cu 3, deoarece suma cifrelor sale, 5+1+6+5+2+1+8=28, nu este un multiplu al lui 3.
Exerciţii:
Aflaţi x, astfel încît numărul: a) 87x4 b) 569x c)x588 să fie divizibil cu 3.
Rezolvare:
87x4 deci X={2,5,8}
569x deci X={1,4,7}
x588 deci X={3,6,9} {0 nu poate fi deoarece nu există nici un număr care să se inceapă cu 0!}



Criteriul de divizibilitate cu 4
Într-un coş sînt 24 mere şi în al 31 mere. Maria, Sandu, Ion si Vicu vor să împarte merele din primul şi al doilea coş în patru părţi egale.E posibil?
Rezolvare:
1) 24:4=6;4 24
Merele din primul coş se pot împărţi în 4 părţi egale.
31:4=7 (3 rest) 4| 31
Merele din al doilea coş nu se pot împărţi în 4 părţi egale.
Observam:
24:4=6
25488 88:4=22
Numerele 1524, 25488 precum şi alţi multipli ai lui 4, se împart la 4 deoarece ultimele 2 cifre se împart la 4.
42:4=10 (2 rest)
23:4=5 (3 rest)
Numerele 1542, 523 precum şi alte numere care nu sînt multipli ai lui 4, nu se împart la 4 deoarece ultimele 2 cifre nu se împart la 4.
Generalizăm:
***Dacă numărul format din ultimele 2 cifre se împarte la 4, atunci tot numărul se împarte la 4.
***Dacă numărul format din ultimele 2 cifre care nu se împart la 4, atunci tot numărul nu se împarte la 4.
Exemple:
Numărul 524 se împarte la 4 deoarece ultimele 2 cifre se împart la 4:
24:4=6
524:4=131
Numărul 125 nu se împarte la 4 deoarece ultimele 2 cifre nu se împart la 4:
25:4=6 (1 rest)
125:4=31 (1 rest)
Exerciţiu:
Aflaţi x, astfel încît numărul: a) 52x4, b) x2x2 să fie divizibil cu 4.
Rezolvare:
52x4, deci X={0,2,4,6,8}
x2x2, deci X={1,3,5,7,9}








Criteriul de divizibilitate cu 25
Gicu are 100 timbre şi 120 de creioane. El vrea să împartă timbrele şi creioanele în 25 părţi egale. E posibil?
Rezolvare:
100:25=4, 25|100
Timbrele se pot împărţi în 25 părţi egale.
120:25=4 (20 rest), 25|120
Creioanele nu se pot împărţi în 25 părţi egale.
Observăm:
1200:25=48
1250:25=50
Numerele 1200, 1250 precum şi alţi multipli ai lui 25, se împart la 25, dacă şi numai dacă nr. se termină cu: 00, 25, 50, 75.
1251:25=50 (1 rest)
1378:25=55 (3 rest)
Numerele 1251, 1378 precum şi alte numere care nu sînt multiple ai lui 25, nu se împart la 25, dacă şi numai dacă nr. nu se termină cu: 00, 25, 50, 75.
Generalizăm:
***Dacă numărul se termină cu 00, 25, 50, 75, atunci tot numărul se împarte la 25.
***Dacă numărul nu se termină cu 00, 25, 50, 75, atunci numărul nu se împarte la 25.
Exemple:
Numărul 525 se împarte la 25 deoarece ultimele 2 cifre sînt 25:
525:25=21
Numărul 215 nu se împarte la 25 deoarece nu se termină cu 00, 25, 50, 75:
215:25=8 (15 rest)
Exerciţiu:
Aflaţi x,astfel încît numărul: a)25xx, b)1xx5
Rezolvare:
25xx, deci X={0}
1xx5, deci X={2,7}









Criteriul de divizibilitate cu 6
Într-o magazie sînt 1500 caiete şi 1453 stilouri. Această magazie vrea să repartizeze la 6 magazine un număr egal de caiete şi stilouri.E posibil?
Rezolvare:
1500:6=250, 5|1500
Caietele se pot repartiza în mod egal 6 magazine.
1453:6=242 (1 rest)
Stilourile nu se pot repartiza în mod egal la 6 magazine.
Observăm:
1500:6=250
120:6=20
Numerele 1500, 120 precum şi alţi multipli ai lui 6, se împart la 6, dacă şi numai dacă aceste numere se mai împart la 2 şi la 3, adică, nr. trebuie să se termine cu o cifră pară şi ca suma cifrelor numerelor să se împarte la 3.
105:6=17 (3 rest)
32:6=5 (2 rest)
Numerele 105, 32 precum şi alte numere care nu sînt multipli ai lui 6, nu se împart la 6, dacă şi numai dacă aceste numere nu se împart la 2 şi la 3, chiar dacă suma cifrelor nr. se împart la 3 şi nr. nu se împarte la 2, atunci nr. nu este divizibil cu 6 şi invers.
Generalizăm:
***Dacă nr. este divizibil şi cu 2 şi cu 3, atunci nr. este divizibil cu 6.
***Dacă nr. nu este divizibil cu 2 şi cu 3, atunci nr. nu este divizibil cu 6.
Exemple:
Nr. 216 se împarte la 6 deoarece:
216:2=108
216=2+1+6=9:3=3
216:3=72
Nr. 152 nu se împarte la 6 deoarece:
152:2=76 6| 152
152=1+5+2=8:3=2 (2 rest)
3| 152
Nr. 105 nu se împarte la 6 deoarece:
105=1+0+5=6:3=3 6| 105
105:3=35
105:2=52 (1 rest)
2| 105
Nr. 125 nu se împarte la 6 deoarece:
125=1+2+5=8:3=2 (2 rest) 6| 125
3| 125
125:2=64 (1 rest)
2| 125