LUMINI SI UMBRE IN COSMOS – Obiectul luminat de o singura sursa (punctuala)
a. Umbra
Pentru inceput, sa consideram o sursa punctuala, deci foarte mica in raport cu distanta pana la obiect; in acest caz, orice obiect opac produce "separarea" spatiului in doua zone: una prin care se propaga lumina provenita de la sursa data si alta in care aceasta lumina nu poate patrunde (fig. 1.16).
Figura 1.16
Portiunea fara lumina a spatiului este delimitata de corpul insusi si de o suprafata formata din reuniunea tuturor semidreptelor care trec prin sursa si sunt tangente corpului opac. O astfel de suprafata se numeste "panza conica", iar domeniul cuprins in interiorul ei se numeste "con"; semidreptele amintite se mai numesc "generatoare" ale conului. Rezulta ca:
Orice corp opac luminat de o sursa punctuala este insotit, in partea opusa sursei, de un con de intuneric al carui varf este in sursa luminoasa si ale carui generatoare sunt tangentele duse din sursa la corpul respectiv.
Daca obiectul opac este de forma arbitrara, panza conica este "neregulata"; daca obiectul este sferic, panza conica se numeste "circulara"; iar conul de intuneric va fi un con circular. Pentru a simplifica discutia, ne vom ocupa in continuare numai de corpuri opace sferice, ale caror conuri de intuneric asociate vor fi conuri circulare.
Daca o suprafata opaca (de exemplu, planul unui perete) intersecteaza conul de intuneric al unui obiect, pe acea suprafata, care este si ea luminata de sursa, apare o zona neagra, intunecata, care este umbra obiectului pe suprafata respectiva. Cititorul isi poate da seama, usor, ca:
Umbra unui corp luminat de o sursa punctuala este proiectia centrala a acelui corp pe o suprafata, centrul proiectiei fiind chiar sursa de lumina.
Din experienta cotidiana, se stie ca forma si marimea umbrei unui corp depind nu numai de marimea si forma corpului dar si de forma si orientarea "ecranului" pe care se vede umbra, precum si de distantele sursa-obiect si obiect-ecran. Modificand in mod convenabil unul sau mai multi din acesti parametri, se pot realiza neasteptate "jocuri de umbre"; exista chiar o arta a acestor jocuri.
Intorcandu-ne insa la analiza stiintifica a umbrei, mentionam, in incheiere, ca pentru "conul de intuneric" al unui obiect se mai utilizeaza si denumirea de "con de umbra". De asemenea, este bine sa mentionam de pe acum ca - in practica - in conul de umbra al unui obiect poate patrunde lumina, de la alte surse decat cea "principala" pe care am luat-o in considerare mai sus. De exemplu, noaptea ne aflam in conul de umbra al Pamantului, deci la noi nu ajunge (cel putin direct) lumina Soarelui; totusi, putem vedea lumina - mult mai slaba - provenita de la alti astri. De aceea, in practica, nu identificam umbra cu "intunericul"; aceasta identificare este curenta doar in consideratiile teoretice pe care le facem in unele cazuri.
b. Terminatorul
Panza conului de umbra al unui obiect "atinge" obiectul respectiv de-a lungul unei curbe care se numeste terminator (fig. 1.16).
Evident, fiecare punct al terminatorului este punctul de tangenta al suprafetei obiectului cu o generatoare a conului de umbra. Terminatorul poate avea forme foarte complicate; de exemplu, in multe cazuri terminatorul nu este nici macar o "curba plana", adica punctele ei nu se afla toate intr-un acelasi plan (astfel de curbe se numesc "strambe"). In cazul unui obiect sferic, terminatorul este un cerc, ceea ce simplifica mult rationamentele matematice legate de umbrele sferelor.
Este important sa retinem ca, intotdeauna, exista o parte a suprafetei unui obiect, care se afla in conul de umbra al obiectului insusi, daca acesta este luminat de o singura sursa, punctuala:
Terminatorul unui obiect este tocmai granita dintre partea luminata si partea din umbra a acelui obiect.
Marginea (conturul) umbrei este proiectia centrala a terminatorului; intr-adevar, fiecare raza (proiectanta) care trece printr-un punct al terminatorului ajunge intr-un punct de pe marginea (conturul) umbrei (fig. 1.16). Aceasta constatare ne poate ajuta, de multe ori, sa ne facem o idee mai clara despre terminator si - de ce nu? - chiar despre "conturul" corpului, urmarind conturul umbrei; dupa unii, aceasta urmarire a conturului umbrelor ar fi stat la originea desenului. Mai remarcam un fapt aparent banal, dar care este important pentru un observator:
Din nici un punct situat in conul de umbra al unui corp sursa nu poate fi vazuta, fiind ocultata (ascunsa) de corp.
Evident, pozitia terminatorului pe suprafata unui corp depinde de pozitia pe care o are sursa luminoasa fata de corp; deci, daca obiectul respectiv se afla in miscare fata de sursa, terminatorul se va deplasa continuu pe suprafata sa. Acelasi lucru se intampla si daca obiectul este fix in raport cu sursa, dar efectueaza o miscare de rotatie in jurul unei axe proprii.
Evident, aici se afla originea alternantei zi-noapte in punctele suprafetei Pamantului. Punctele de pe terminatorul Pamantului sunt - intotdeauna - punctele in care are loc fie rasaritul, fie apusul Soarelui.
c. Probleme
Problema 1.2.1. Sa se demonstreze ca terminatorul unui obiect sferic luminat de o sursa punctuala de lumina este un cerc; sa se exprime raza acestui cerc in functie de raza obiectului si de distanta de la sursa la centrul acestuia. Ce se intampla daca distanta dintre obiect si sursa tinde la infinit?
Problema 1.2.2. Fie un obiect sferic luminat de o singura sursa punctuala, aflata la mare distanta; obiectul este fix in raport cu sursa, dar se roteste uniform in jurul unui diametru cu orientare arbitrara fata de directia spre sursa. Sa se determine, in raport cu axa de rotatie, zonele suprafetei obiectului care sunt luminate permanent, cele care nu sunt niciodata luminate si cele care sunt luminate doar timp de o fractiune din perioada de rotatie. Aceasta fractiune este intotdeauna aceeasi?