Multimi si operatii cu multimi
- Multimi si operatii cu multimi
- Reprezentarea unei multimi in diferite moduri.
- Efectuarea reuniunii, intersectiei si diferentei a doua multimi. Determina-rea complementarei unei multimi
- Utilizarea in mod corect a simbolurilor: “Γ, “I“, “É“, “I“.
1
S1
- exerseaza operatiile cu multimi;
- Recunoaste si exemplifica de multimi intre care exista relatia de incluziune.
Multimile N si Z
- Descrierea multimilor N si Z, reprezentarea pe axa, valoarea absoluta a unui numar intreg, ordonarea.
-Operatii, ordinea operatiilor, ridicarea la putere.
- Divizor, multiplu, numar prim.
- Criterii de divizibilitate cu 2,3,5,10. Descompunerea in factori primi.
- Recunoasterea numerelor naturale si intregi.
- Determinarea valorii absolute a unui numar intreg.
- Compararea a doua numere naturale sau intregi folosind pozitia lor prin utilizarea valorii absolute a unui numar intreg.
-Efectuarea operatiilor in ordinea corecta.
- Determinarea multimii divizorilor unui numar de doua cifre.
-Precizarea numerelor prime mai mici decat 100.
- Utilizarea criteriilor de divizibilitate in descompunerea in factori primi ai unui numar.
1
1
1
1
S2
S3
S4
S5
- exercitiu;
- explicatia;
- tabla de perete;
- fise de lucru;
C: vol.I, pag.5, cap. “Numere naturale”.
Pag.105, pag. 29, cap. “Numere intregi”.
D: cap. “Numere intregi”.
D: cap. “Divizibilitatea numerelor naturale”
- citeste si scrie numere naturale si intregi; Aplica scrierea unui numar natural in baza 10.
- alcatuieste submultimea numerelor naturale pentru o multime A data de numere intregi.
- ordoneaza descrescator elementele multimii unei multimi de numere intregi finite.
- reprezinta elementele multimii pe axa.
- Efectueaza calcule cu numere naturale si intregi urmarind respectarea ordinii operatiilor si folosirea corecta a parantezelor.
Exemplu: - de efectuat: (-2)2-[-10+5:(-5)].
- identifica numerele dintr-o multime data, de numar natural care se divid cu 2,3,5,10;
Exemplu:
- de enumerat elementele multimii D18.
- de scris multiplii lui 7 mai mici decat 50.
- identifica numerele prime prin aplicarea algoritmului de impartiri succesive.
- diferentiaza numerele prime de numere prime intre ele.
- descompune numere naturale in produs de puteri de numeri prime.
- exemplu:
- de descompus in factori primi numarul 1440.
Multimea Q.
- Fractii; transformarea ordinare in fractii zecimale.
- Reprezentarea pe axa; ordonarea.
- Operatii cu numere rationale.
- Puterea unui numar rational cu exponent intreg negativ.
- Ecuatii cu solutii in multimea Q si probleme care conduc la determinarea unei fractii dintr-un numar.
- Recunoasterea si exemplificarea de fractii subunitare, echiunitare, supraunitare si transformarea fractiilor ordinare in fractii zecimale.
- Aproximarea numerelor zecimale prin lipsa sau adaos cu eroare pana la o miime.
- Compararea a doua numere rationale folosind pozitia lor pe axa sau utilizand valoarea absoluta.
- Efectuarea operatiilor in ordinea corecta.
- Utilizarea puterilor cu exponent intreg negativ ale lui 10 in scrierea standard a numerelor pozitive.
- Recunoasterea ecuatiilor, a necunoscutelor si a coeficientilor acestora.
- Verificarea situatiei in care un numar este solutie si determinarea solutiei ecuatiei.
- Rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuatiilor.
1
1
1
1
S6
S7
S8
S9
- explicatia;
- exemplul;
- exercitiul;
- activitatea individuala.
- calculatorul de buzunar;
- tabla de perete;
- fise de lucru;
A: cap. “Nu-mere rationa-le”, pag.42 si pag.133.
D: “Numere rationale pozitive”.
- clasifica elementele unei multimi de fractii;
- transforma fractiile ordinare in fractii zecimale.
- exemplu:
- de transformat in fractii zecimale urmatoarele fractii ordinare: 1/2, 1/3, 1/6, 17/3, 5/3.
- indica fractii subunitare, supraunitare, echiunitare.
- scrie primele trei zecimale pentru factorii: 1/25; 1,(34); 1/6.
- aproximare a fractiilor ordinare la numere intregi.
- aproximeaza fractiile zecimale la fractii zecimale cu un numar mai mic de cifre zecimale semnificative.
- Reprezinta numere rationale pe axa sau folosind valoarea absoluta.
- exemplu:
- de comparat numerele:
a) (2/7 si 0,285)
b) (0,2(1) si 0,(21))
- calculeaza urmarind respectarea ordinii operatiilor si folosirea corecta a parantezelor, in special cu fractii zecimale.
- exemplu:
de efectuat:
a) (2/5-3/4:1/2)*(-5/2)2
b) (2,3-4,15) *0,25*103
- scrie fractii zecimale prin folosirea puterilor lui 10..
Exemplu:
a) 0,0075 = 0,75*10-2
b) 23,5 = 0,235*102
- stabileste daca o ecuatie are solutie in multimea Q.
- identifica a datele si necunoscutele ecuatiei.
- identifica operatiile prin care se ajunge la solutie.
Exemplu:
se considera ecuatia:
precizeaza care dintre elementele unei multimi A constituie solutie a unei ecuatiei date.
Rezolva ecuatii de tipul:
X/2+1/3=x/7, xÎQ
Rapoarte si proportii
- Raport.
- Proportii derivate
- Marimi direct si invers proportionale
- Procente
- Compararea a doua marimi de acelasi fel calculand valoarea raportului lor.
Calcularea celui de-al patrulea proportional si realizarea de proportii derivate cu aceeasi termeni.
- Recunoasterea a doua marimi direct sau invers proportionale.
- Utilizarea regulii de trei simpla si rezolvarea problemelor.
- Calcularea raportului procentual.
- Calcularea a p% dintr-un numar.
- Calcularea numaru-lui cunoscand p% din el.
- Utilizarea procentelor in calcul economic.
1
1
1
S10
S11
S12
- exemplu;
- metoda demonstrativa;
- conversatia;
- exercitiul;
- fise de lucru;
- tabla de perete;
- planse;
A:cap.II,pag.95
- calculeaza folosind suportul intuitiv
exemplu:
se stie ca: 2x=3y
de calculat raportul dintre x si y.
exemplu:
a) - se stie ca
de determinat m1 stiind ca v1, v2, m2 sunt date.
b) dandu-se proportia
- sa se rescrie astfel incat y/x sa fie unul dintre rapoarte.
- verifica validitatea unor afirmatii pe cazuri particulare; exercitii concrete din fizica, chimie, economie.
- rezolva probleme cu regula de trei simpla.
- determina raportul procentual.
- evidentiaza in procente rezultatele scolare la nivel de clasa, respectiv scoala.
- exemplifica in procente rezultatele din domeniul familiei ocupationale.
- aplica in probleme cu continut economic, calcul economic.
- aplica in situatii din domeniul familiei ocupationale;
*
Recapitulare teza, teza
2
S13,S14
Multimea R
- Radacina patrata
- Numar irational, multimea R
- Aproximari, reprezentarea pe axa, intervale
- Calculul numerelor reale, a mediilor aritmetice, geometrice si armonice pentru numere pozitive.
- Calcularea radacinii patrate u unui numar mai mare sau egal cu zero cu o aproximatie data.
- Recunoasterea si exemplificarea numerelor irationale.
- Ordonarea pe axa a numerelor reale.
- Calcularea mediei aritmetice a mai multor numere.
- Calcularea mediei geometrice si mediei armonice a doua numere pozitive.
1
1
1
S15
S16
S17
- explicatia;
- exercitiul;
- exemplul;
- contraexemplu;
- tabla de perete;
- fise de lucru;
A: cap.I, pag.76.
- calculeaza radacina patrata a unui numar dat cu un numar de zecimale precizat.
- recunoaste numerele irationale dintr-o multime de numere date.
exemplu:
- - - reprezinta pe axa a numerelor irationale folosind aproximatii date de calculator.
exemplu:
- de ordonat crescator elementele multimii
A= .
- evidentiaza rezultatele scolare la nivel de clasa respectiv de scoala
-calculeaza media din domeniul familiei ocupationale.
Functii
- Functia f:D®R
f(x)=ax+b, a,bÎR, DIR.
-Ecuatii si inecuatii de gradul intai cu o necunoscuta.
- Exprimarea relatiei de proportionalitate directa printr-o unctie: f:A-> B; f(x)=x; a10 si reciproc.
Interpretarea grafica a dependentei proportionale dintre doua multimi de numere reale.
- Interpretarea geometrica a dependentei intre elementele a doua multimi prin x®ax+b; a,bÎR, DIR.
-Determinarea unei functii de forma f(x)=ax+b, f:D®R, DIR; avand graficul ei.
-Recunoasterea ecuatiei, a necunoscutei si a coeficientilor acesteia.
-Verificarea situatiei in care un numar este solutie.
- Aplicarea in mod corect a algoritmului de rezolvare si determinarea solutiei.
-Recunoasterea inecuatiei de gradul intai cu o necunoscuta.
-Verificarea situatiei in care un numar este solutie.
-Aplicarea in mod corect a algoritmului de rezolvare si descrierea multimii de solutii.
-Scrierea sub forma de proportie a egalitatii dintre doua produse de cate doua numere.
1
1
S18
S19
- explicatia;
- conversatia dirijata;
- exemplu;
- contraexemplu;
- exercitiul.
- tabla de perete;
- fise de lucru;
- A, B, C, D: cap. “Functii”
Manual de Algebra cl. A IX-a, cap. “Ecuatii cu solutii in R”.
D: cap. “intervale de numere reale”.
Cap. “Inecuatii”, “Ecuatii de forma; ax+b=d” a,b,dÎR
- exemplifica marimi in relatie de dependenta direct proportionala Mareste si reduce la scara
exemplu:
- exprima spatiul functie de timp (v=constanta).
- volumul productiei in functie de timp (norma este constanta).
- Prezinta exemple din geometrie.
- reprezinta grafic aceasta dependenta.
- Reprezinta grafic functiile:
a) f:[-2,4]®R, f(x)=x+2;
b) f:R®R. f(x)=2x+1;
c) f:{-4, 0, 1, 3}®R, f(x)=x+2;
d) f:R®R. f(x)= .
- determina functia f:R®R, data de formula f(x)=x+b, stiind ca
A(-1,5)ÎGf.
- stabileste daca ecuatiile date au solutii in R.
- identifica datele si necunoscutele.
- identifica operatiile prin care se ajunge la solutie; identifica formula.
- scrie sub forma de interval multimi de forma:? xÎ R/x 3 a?; ? xÎ R/x L b?;
xÎ R/ aL x< b?; a,b Î R.
- stabileste daca un numar apartine multimii de
solutii;
- identifica operatiile din care se ajunge la solutie;
exemplu:
- rezolva inecuatii:
2x < 5; x+2 3 3; 3(x + 1) L 5x.
- calculeaza pe cazuri particulare din fizica , chimie, economie, etc. 3Lí??<>
Cercul.
- Definitie, elemente.
- Unghi la centru, unghi cu varful pe cerc.
- Pozitia dreptei fata de cerc.
- Pozitia relativa a doua cercuri.
-Desenarea cercului, identificarea elementelor sale.
- Stabilirea pozitiei relative a unei drepte fata de cerc sau pozitia a doua cercuri.
1
1
S20
S21
- explicatia;
- exercitiul;
- fise de lucru.
- tabla de perete;
- planse;
- truse de geometrie;
- A, B, C, D: cap. “Cercul”.
- de folosit compasul in reprezentarea in desen a cercului.
- de reprezentat raze, diametre, coarde.
de pus in evidenta arce.
- de reprezentat prin desen pozitia unei drepte fata de cerc.
- de comparat distanta de la centrul cercului pana la dreapta, cu raza cercului.
- de reprezentat prin desen pozitia a doua cercuri.
Triunghiul
- Elementele triunghiului, linii importante in triunghi
- Clasificarea triunghiurilor
- Triunghiuri congruente
- Triunghiuri asemenea, linia mijlocie.
Triunghiul dreptunghic, relatii metrice in triunghi dreptunghic.
- Functii trigonometrice atasate triunghiului dreptunghic.
- Radianul
Enumerarea elementelor triunghiului.
- Recunoasterea si caracteizarea liniilor importante in triunghi (mediana, inaltimea, bisectoarea, mediatoarea).
- Desenarea liniilor importante in triunghi.
- Localizarea grafica a ortocentrului, centrului de greutate, punctului de intersectie al mediatoarelor, punctului de intersectie al bisectoarelor.
- Recunoasterea triunghiului scalen, isoscel, echilateral, respectiv a triunghiului dreptunghic, obtuzunghic si ascutitunghic si desenarea acestora.
- Recunoasterea elementelor omoloage a doua triunghiuri.
- Indicarea cazurilor de congruenta a doua triunghiuri intr-o situatie data.
- Indicarea elementelor congruente rezultate dupa stabilirea congruentei a doua triunghiuri, in urma utilizarii unuia din cazurile de congruenta.
- Aplicarea metodei triunghiurilor congruente pentru a demonstra congruenta a doua unghiuri sau a doua segmente.
Teorema lui Thales
-Recunoasterea triunghiurilor asemenea utilizand teorema fundamentala a asemanarii.
- Indicarea elementelor omoloage in urma stabilirii asemanarii, scrierea sirului de rapoarte rezultat si determinarea valorii raportului de asemanare.
-Recunoasterea liniei mijlocii a unui triunghi, folosirea proprietatilor acesteia.
- Utilizarea proprietatii medianei corespunzatoare ipotenuzei.
- Utilizarea proprietatii triunghiului dreptunghic cu un unghi de 30°.
- Calcularea inaltimii corespunzatoare ipotenuzei dupa formula: h=c1*c2/ip.
- Utilizarea teoremei lui Pitagora in rezolvarea problemelor.
- Exprimarea sin, cos, tg pentru un unghi ascutit
- Redarea marimii in radiani a unghiurilor ascutite.
1
1
1
1
1
1
S22
S23
S24
S25
S26
S27
C: vol. II, cap.III, pag.42.
A. cap.III, pag.101.
- citeste varfurile, laturile si unghiurile unui triunghi.
- construieste cu rigla si compasul liniile importante in triunghi, evidentiind punctele de concurenta ale acestora.
-deseneaza triunghiul echilateral, isoscel, dreptunghic cu ajutorul instrumentelor.
-interpreteaza:
DABC o DMNP; daca in plus
AB = 10 m(B)=35°
de determinat lungimea segmentului MN si masura unghiului MNP.
Se stie ca:
1AO1o1A1O1; 1BO1o1B1O1
precizeaza cazul de congruenta pentru DAOB si DA1OB1
- precizeaza celelalte elemente congruente.
- arata: 1AB11o1A1B1;
- considera DABC, iar MN11BC, AB = a, MB = a1, a1
- demonstreaza DAMN ~ DABC
- scrie sirul de rapoarte egale si valoarea acestuia.
- determina PAMN/PABC; AAMN/AABC, functie de raportul de asemanare.
- caz particular: [AM]o[MB]
- gaseste punctul (ce apartine ipotenuzei unui triunghi) avand proprietatea ca este egal departat de varfurile acestuia.
- exprima relatia dintre cateta opusa unghiului de 30° si ipotenuza in triunghiul dreptunghic.
Exemplu:
Pentru DABC, m(A) = 90°
BC = a, m(C) = 30°
- determina AB.
- foloseste formula.
- calculeaza ipotenuza cand se cunosc catetele.
- de calculat o cateta cand se cunosc ipotenuza si cea de-a doua cateta.
- determinati valoarea functiilor trigonometrice ale unui unghi ascutit incadrat intr-un triunghi dreptunghic.
exemplu:
se considera DABC pentru care:
AB = 12; AC = 5;
m(A) = 90°
- determina sin C, cos C, sin B, cos B, tg C, tg B.
- transformati in radiani unghiuri cu masura de 30°, 45°, 60°, 90° .
Cercul trigonometric.
- Definitia functiei sin, cos, tg pe cerc pe intervalul [0,2p]
- Reprezentarea grafica a functiilor trigonometrice sin, cos, tg pe intervalul [0,2p].
- Ecuatii trigonometrice simple
- Definitia functiilor sin, cos, tg, ctg in triunghiul dreptunghic.
- Rezolvarea triunghiului dreptunghic.
- Definirea cercului trigonometric si definirea pe [0,2p] a functiilor sin, cos, tg.
- Indicarea valorii functiilor trigonometrice pe argumentele uzuale din intervalul [0,2p].
-Aplicarea pe cazuri concrete a formulelor cos(a±b), sin(a±b).
- Reprezentarea grafica a functiilor trigonometrice sin, cos, tg pe intervalul [0,2p]
- Rezolvarea ecuatiilor trigonometrice de tipul sinx=a, cosx=a, aÎ[-1,1] si tgx=b, bÎR.
1
1
1
S28
S29
S30
- metoda demonstratiei;
- explicatia;
- exercitiul.
- tabla de perete;
- truse de geometrie;
-A: cap. “Cercul geometric”.
- determina sin, cos, tg unui unghi ascutit al unui triunghi dreptunghic.
exemplu:
- exprima sin, cos, tg pentru unghiuri cu masura de 30°, 45°, 60°.
- exprima sin, cos, tg pentru alte unghiuri ascutite, utilizand calculatorul de buzunar.
- determina elementele triunghiului dreptunghic cand se cunosc: un element liniar si un unghi ascutit.
- exprima in radiani masuri de unghiuri orientate, respectiv de unghiuri obtuze.
- exprima valoarea functiilor trigonometrice pe [0,2p] folosind coordonatele punctului mobil M pe cercul trigonometric.
- exprima functiile trigonometrice pentru argumentele uzuale.
- utilizeaza formulele cos(a±b), sin(a±b).
- reprezinta grafic functiile trigonometrice sin, cos, tg utilizand valorile argumentelor uzuale.
- rezolvati ecuatii de tipul sinx=a, cosx=a, tgx=b, aÎ[-1,1], bÎR.
exemplu: rezolvati ecuatiile sinx=1/2., cosx=Ö3/2
Patrulatere
-Patrulatere particulare, elemente caracteristice.
- Unitati de masura pentru arii.
- Perimetrul si aria triunghiului.
- Calculul perimetrului si ariei
- Desenarea fiecaruia dintre patrulaterele particulare: patrat, dreptunghi, paralelo-gram, romb, trapez.
- Reprezentarea proprietatilor caracteristice pentru fiecare dintre acestea (cu privire la laturi, la unghiuri, la diagonale).
- Recunoasterea simetriilor patrulaterelor particulare
(paralelogram, dreptunghi, patrat, romb, trapez isoscel).
- Utilizarea proprietatilor patrulaterelor particulare in rezolvarea unor probleme cu caracter aplicativ.
- Estimarea ariei triunghiului functiei de o suprafata patrata data.
-Alegerea intr-un mod convenabil a unitatii de masura pt. situatie data, transformarea unitatilor mai mici in unitati mai mari si invers.
- Calcularea ariei triunghiului in baza formulei B*h/2 sau utilizand formula Heron.
- Calcularea perimetrelor si ariilor patrulaterelor particulare si ale triunghiurilor
- Estimarea ariei unui patrulater functie de aria unei suprafete date.
- Calcularea ariei patrulaterelor particulare cu ajutorul formulelor cunoscute.
- Descompunerea in mod convenabil a suprafetelor patrulaterelor particulare.
1
1
S31
S32
- exemplul;
- exercitiul;
- fise de lucru;
- experimentul.
- tabla de pere-te;
- planse;
- truse de geometrie;
- folii de retro-proiector;
A: cap. II, pag.86.
A: cap. IV, pag.125.
A: cap. IV, pag.125.
- utilizeaza proprietatile specifice in rezolvarea problemelor.
exemplu:
a) pentru paralelogramul ABCD se stie ca:
AO = 5; DO = 2; m(DAB) = a°, (a < 180).
- determina m(ABC), m(BCD), CO, OB.
b) considera rombul ABCD cu m(A) = 60° PABCD = 16;
- calculeaza diagonalele rombului.
- stabileste pe cale intuitiva axele sau/si centrele de simetrie pentru patrulaterele studiate.
- Rezolva exercitii specifice familiei ocupationale.
- estimeaza aria triunghiului ABC functie de suprafata data.
- alege cea mai potrivita unitate de masura intr-un context dat.
- calculeaza AABC stiind ca DABC este dreptunghic.
Exemplu:
m (A) = 90°, AB = 3, AC = 4.
- calculeaza AABC stiind lungimile laturilor. – calculeaza perimetrul unui trapez dreptunghic sau isoscel cand se cunosc bazele si inaltimea.
- calculeaza ariile patrulaterelor particulare pe baza formulelor cunoscute.
exemplu:
- pentru trapezul isoscel ABCD se stie ca: AB = L; CD = l; BC = a,
AB 11 CD calculeaza aria trapezului.
- pentru trapezul ABCD se stie ca: CD = l; AB 11 CD; BC = a; m(A) = 90°, AC-CD = m>0; calculeaza aria trapezului.
- calculeaza aria suprafetelor patrulaterelor particulare descompunandu-le intr-un mod convenabil.
Suprafete poligonale
- Descompunerea unei suprafete poligonale in suprafete poligonale cunoscute.
- Calcularea ariei unei suprafete poligonale, descompunand-o in suprafete poligonale ale caror formule de calcul a ariei sunt cunoscute.
1
S33
- exemplul;
- exercitiul;
- experimentul.
- tabla de perete;
- truse de geometrie;
- planse;
- folii de retroproiector;
A: cap.IV, pag. 125; cap.VI, pag.149.
- calculeaza perimetrul poligonului oarecare si aria suprafetei date.
D C AB=15
BC=10
CD=7
F E DE=3
EF=6
A B
*
Recapitulare teza, teza
2
S34,S35
NOTA: Verificarea se va face prin: - utilizarea fiselor de lucru; - tema de acasa; - teste de evaluare la sfarsitul fiecarui modul; - test de evaluare finala.
LEGENDA: A. “O standardizare a evaluarii cunostintelor minimale la matematica de liceu”, Ed. ROTECH PRO, Editia 1996.
B. “O standardizare a evaluarii cunostintelor minimale la matematica de gimnaziu”, Ed. RADICAL, Editia 1995.
C. “Aritmetica si algebra”, vol. I, Ed. RADICAL, Editia 1995.
“Algebra”, vol.III, Ed. RADICAL, Editia 1995.
“Geometrie plana”, vol. II, Ed. RADICAL, Editia 1995.
“Geometrie in spatiu”, vol. IV, Ed. RADICAL, Editia 1995.
D. “Teste de matematica”, Ed. CONVIOCARB, Editia 1996.
Nota bene: Continutul acestei programe este pentru anul I de studiu, iar pentru anul II continutul este prezentat intr-o lucrare distincta.
