|
REZOLVAREA SISTEMELOR DE ECUATII LINIARE
1. Daca numarul de ecuatii = numarul de necunoscute = rangul matricei sistemului = n , adica detA
.
(exemplu : sistem cu 3 ecuatii , 3 necunoscute si rang A =
) , atunci sistemul este
... solutia sistemului este
. si pentru rezolvarea sa se aplica REGULA LUI
iar solutiile sale sunt date de FORMULELE LUI
.. :
, ,
, unde , ,
, se obtin din
.. prin
.
2. In studiul compatibilitatii unui sistem OARECARE de ecuatii liniare se folosesc
urmatoarele 2 teoreme :
TEOREMA LUI KRONECKER CAPELLI :
..
.
TEOREMA LUI ROUCHE :
.
.
3. Daca rang A = r < n , unde n este numarul de necunoscute si sistemul este compatibil ,
vom avea r necunoscute
si
. necunoscute
Necunoscutele secundare le vom nota cu
. , iar necunoscutele principale
se vor exprima in functie de necunoscutele secundare .
Un sistem compatibil cu - 1 necunoscuta secundara se numeste
. ,
- 2 necunoscute secundare se numeste
. ,
- 3 necunoscute secundare se numeste
. ,
analog pentru celelalte situatii . Un sistem compatibil cu una sau mai multe necunoscute secundare
are
. de solutii .
4. ALGORITM DE REZOLVARE A UNUI SISTEM DE ECUATII LINIARE OARECARE :
I ) Studiem daca sistemul este compatibil : scriem matricea A a sistemului si calculam
rang A , afland astfel si
..
II ) Prin bordarea minorului principal ( numit si
..) cu
..
, obtinem
( numit si
..)
Calculam minorul (minorii ) caracteristic ( caracteristici )
si obtinem urmatoarele 2 situatii , conform TEOREMEI LUI
. :
1 )
2 )
.
III ) Daca sistemul este COMPATIBIL , procedam astfel :
1 ) Selectam dintre ecuatiile sistemului acele ecuatii care « se sprijina « pe minorul principal .
In aceste ecuatii , pastram in membrul stang necunoscutele principale si
.. pe care le notam cu
2 ) Rezolvam sistemul astfel obtinut cu REGULA LUI
.. sau cu metodele
invatate in clasele de gimnaziu .
5 . SISTEME DE ECUATII OMOGENE
Forma generala a unui sistem liniar omogen cu m ecuatii si n necunoscute este :
- obs. ca intr un sistem liniar omogen , toti termenii liberi sunt
..
Un sistem liniar omogen este compatibil
, el avand mereu solutia
. numita solutia nula ( banala sau triviala ) .
Daca presupunem m = n , atunci :
sistemul este compatibil determinat ( are solutie unica ) daca si numai daca
..
sistemul este compatibil nedeterminat ( are o infinitate de solutii ) daca si numai daca
|
