Trasarea graficului unei functii

In studiul variatiei unei functii si trasarea graficului se parcurg urmatoarele etape de determinare succesiva a unor elemente caracteristice ale functiei:
Domeniul de definitie:
Determinarea domeniului de definitie (in cazul expresiilor rationale numitorul trebuie sa fie diferit de zero; in cazul celor irationale cantitatea de sub radical trebuie sa fie cel putin zero)
Intersectia graficului cu axa Ox: f(x)=0
Intersectia graficului cu axa Oy:f(0)=…
Calculul limitelor:
Semnul functiei:
Determinarea paritatii sau imparitatii functiei(daca functia este para,f(x)=f(-x),atunci graficul este simetric fata de axa ordonatelor; daca functia este impara,-f(x)=f(-x), atunci graficul este simetric fata de originea axelor).
Determinarea periodicitatii functiei si, in cazul functiilor periodice, a perioadei T.
Continuitatea functiei.
Asimptote:
orizontale;
oblice;
verticale.
Studiul primei derivate:
Se determina multimea E` inclusa in domeniul de definitie, pe care functia f este derivabila si apoi se calculeaza f `(x).
Se rezolva ecuatia f `(x)=0, ale carei radacini sunt, eventual, puncte critice ale functiei.
Se calculeaza valoarile functiei pe radacinile derivatei I.
Determinarea semnului derivatei I, care da monotonia functiei.
Studiul derivatei a doua:
Se determina multimea E`` inclusa in E`, pe care functia f ` este derivabila si apoi se calculeaza f ``(x).
Se rezolva ecuatia f ``(x)=0, iar radacinile pot fi puncte de inflexiune.
Se calculeaza valoarile functiei pe radacinile derivatei II.
Determinarea semnului derivateiei II, care ne da convexitatea sau concavitatea functiei.
Formarea tabloului de variatie a functiei f – tablou in care se trec pentru sistematizare, rezultateleobtinute la punctele precedente:

x

f `(x)

f ``(x)

f(x)


Trasarea graficului functiei:- conform rezultatelorsistematizate in tabloul de variatie – intr-un sistem de axe carteziene.


APLICATII:

Sa se studieze variatia functiilor si sa se reprezinte grafic:



x
-Y -1 0 1 +Y
f `(x)
- - - -Y1+Y + 0 - - - - - - -Y1+Y + +
f (x)
+Y 1 1 0 -1 0
e in –1 si 1 avem puncte de intoarcere.

VI.Tabloul de variatie:

x
0 3 +Y
f `(x)
+ + + + + + + + + +
f``(x)
- - - - - - - - - -
f(x)
-3 0 1


2. Se considera functia:

unde D este domeniul maxim de definitie iar k partine lui R. Sa se traseze graficul functiei f stiind ca trce prin punctul (1,1).

Demonstratie:


V.
x
-Y -2 -1/2 0 1 Y
f `(x)
+ + + 1+ + + 0 - - - 1 - - - - 0 + + +
f(x)
2 +Y1-Y -2 -Y1+Y 1






















3. Sa se reprezinte grafic functia:

V. Tabloul de variatie:

x
-Y -1 -0,854 -3/4 -0,125 0 1 Y
f `(x)
- - - 0 + + + + 0 - - - - - - 0 + +
f ``(x)
+ + + + 0 - - - - - 0 + + + + +
f(x)
+Y 4,619 4,625 4,630 2,805 2 0 +Y













4. Sa se reprezinte grafic “Serpentina lui Newton” data prin functia:



x
-Y - 3/a - 1/ a 0 1/ a 3/a +Y
f `(x)
- - - - 0 + + + 0 - - - -
f ``(x)
- - 0 + + + 0 - - - 0 + +
f(x)
0 - 3a /4 - a /2 0 a /2 3a /4 0


5. Sa se reprezinte grafic functia:










VI. Tabloul de variatie al functiei se face separat pentru cele doua ramuri:

x
-1a1 x`2 0 x`1 1a1
f `1(x)
+ + + 0 - - 1 + + 0 - - - -
f ``1(x)
- - - - - - - - - - - - -
f 1(x)
a 1a1 a


x
-1a1 x``2 0 x``1 1a1
f `2(x)
- - - - 1 + + + +
f ``2(x)
+ + 0 - - 1 - - 0 + +
f2(x)
a -1a1 a