TUNELE IMAGINARE
PRIN PAMANT

Intalnita sub forma de problema sau sub forma de “curiozitate” in fizica distractiva , tunelul ce strabate Pamantul prin care cad corpuri de la suprafata
Acestuia ofera cititorului nu numai destindere si amuzament , dar si interesante consideratii de ordi stiintific. Astfel , imaginandu-ne ca un corp de masa m cade de la suprafata Pamantului prin centrul acestuia , se pune problema determinarii legii miscarii acestui corp , cat si a caracteristicelor
miscarii.




Daca notam cu Mp - masa Pamantului , evident m << Mp.
Pentru a gasi ecuatia miscarii corpului de masa m presupunem ca la un moment dat corpul se afla la distanta r < Rp de centrul O al Pamantului
( Rp – raza Pamantului ). Corpul va interactiona gravitational numai cu portiunea de masa M a Pamantului avand raza r . Prsupunand Pamantul sferic si de densitate constanta , forta ce actioneaza asupra corpului de masa m are valoarea :

F(r) = -gmM / r˛ (1)
Dar :

M / Mp = (r / Rp ) ł => M = Mp (r / Rp ) ł . (2)

Inlocuind cea de-a doua relatie in prima se obtine :

F(r) = -gmMpr / Rpł = -Kr (3)

in care prin g s-a notat constanta atractiei universale , iar prin


k = gmMp / Rpł (4)

o constanta de proportionalitate.

Din expresia fortei rezulta ca asupra corpului de masa m actioneaza o forta de tip elastic si care imprima deci acestuia o miscare oscilatorie avand pulsatia :

1 1 1
w = ( k / m ) = ( gMp / Rp ł ) = ( go / Rp ) , (5)

in care go = gMp / Rp ˛ reprezinta acceleratia gravitationala la suprafata Pamantului .
Perioada acestei miscari rezulta a fi :
1
T = 2p / w = 2p ( Rp / go ) . (6)

6
Inlocuind in relatia perioadei Rp = 6370 km = 6,37 * 10 m si
go = 9,81 m / s˛ , rezulta T = 5 * 10ł s = 84,3 min .
Ecuatia miscarii oscilatorii armonice este de forma :

y = rmax sin (wt + j ) . (7)

Cum la t = 0 , rmax = Rp (corpul cade de la suprafata Pamantului ) , rezulta ca sin j = 1 => j = p / 2 si deci
1 1
y = Rp sin [ t ( go / Rp ) + p / 2 ] = Rp cos [ t ( go / Rp ) ] . (8)


Ca urmare viteza si acceleratia corpului de masa m sunt :

u = wrmax cos ( wt + j ) (9)
a = - w˛ rmax sin ( wt + j ) (10)

Avand in vedere miscarea oscilatorie si ecuatia miscarii , acceleratia si viteza corpului capata forma :

1 1
u = - ( go*Rp ) sin [ t ( go / Rp ) ] ; umax = ( go*Rp ) . (11)

1
a = - go cos [ t ( go / Rp ) ] ; amax = go . (12)

Din prima relatie se constata ca viteza maxima a corpului reprezinta prima viteza cosmica ( viteza unui satelit artificial pe o orbita situata in imediata vecinatate a suprafetei Pamantului ) .

1
u = u1 = ( go*Rp ) = 7,9 km / s .

Aceasta viteza este atinsa atunci cand corpul trece prin centrul Pamantului
si , dupa cum se stie , ea reprezinta o valoare caracteristica a campului gravitational al planetei noastre .
Cititorul poate constata usor ca aceasta valoare a vitezei se poate obtine usor prin considerente de ordin energetic , aplicand legea conservarii energiei corpului scrisa pentru centrul Pamantului .
Din relatia acceleratiei corpului rezulta ca ea este maxima la suprafata Pamantului .
Asadar corpul lasat sa cada prin acest tunel ajunge la celalalt capat in aproximativ 42 minute fara nici un consum de energie ( daca neglijam frecarile ) si revine in acelasi punct dupa aproximativ 48 minute care reprezinta perioada miscarii oscilatorii a corpului .
Aceeasi perioada o are si satelitul artificial al Pamantului ce se misca pe o traiectorie circulara in imediata vecinatate a acestuia ( teoretic la suprafata Pamantului , h = 0 ) .
In fond , miscarea corpului de masa m in tunelul imaginar care trece prin centrul Pamantului poate fi descrisa ca proiectia pe diametrul AB (prima
figura ) a miscarii circulare a unui satelit artficial in jurul Pamantului , in imediata vecinatate a suprafetei acestuia , asa cum se studiaza de regula , elementar miscarea oscilatorie armonica . Este de consemnat apoi faptul ca aceeasi perioada ( T = 84,3 minute ) o are si un pendul gravitational cu lugimea l = Rp care ar oscila la suprafata Pamantului . De asemenea este interesant si faptul ca pentru o lungime a pendulului , L care ar tinde la infinit perioada este aceeasi .
In sfarsit , daca tunelul care traverseaza Pamantul ar fi imaginat pe directia unei corzi ( nu a unui diametru ) al Pamantului , corpul de masa m va aveaaceeasi miscare oscilatorie armonica cu perioada T = 84,3 min , cu deosebirea ca de aceasta data ecuatiile miscarii devin :

1
y = | Rp cos a | cos [ t ( go / Rp ) ] . (13)

1 1
u = - | ( go*Rp ) cos a | sin [ t ( go / Rp ) ] . (14)

1
a = - | go cos a | cos [ t ( go / Rp ) ] , (15)

in care prin a s-a notat unghiul pe care il face coarda cu diametrul AB .





Toate rationamentele facute au suportul unor “ tunele imaginare “ ce s-ar face prin Pamant .
Tehnic si tehnologic asemenea tunele , prin care s-ar putea valorifica energia gravitationala a planetei pe care traim , nu sunt deocamdata posibile Desigur ca intr-un viitor previzibil cercetarile care se fac astazi vor pune in valoare noi cai de utilizare a energiei gravitationale printre care , de ce nu , si aceasta cale care pentru momentul de fata reprezinta doar un joc de inteligenta .



mitziuro